La dynamique des contractions affines par morceaux de l'intervalle

schedule le mardi 21 février 2017 de 10h30 à 13h00

Organisé par : D. Burguet, P-A. Guihéneuf

Intervenant : Arnaldo Nogueira (Arnaldo Nogueira)
Lieu : Salle Paul Lévy, Campus Jussieu (salle 113, Tour 16/26)

Sujet : La dynamique des contractions affines par morceaux de l?intervalle

Résumé :
Soient 0<a<1, 0<c<1 et I=[0,1. Nous appelons rotation contractée du cercle l'application f_{a,c} :x\in I \mapsto x+c mod 1. Une fois le nombre a fixé, nous nous intéressons à la dynamique de la famille à un paramètre f_{a,c} où c varie sur l'intervalle ]0,1[. Le premier but de l'exposé est de revenir à un sujet qui a été déjà bien étudié : le rapport entre les rotations contractées et les rotations du cercle. Ensuite, nous allons discuter une généralisation des rotations contractées. Nous disons que la fonction f: I \to \R est une contraction affine par morceaux s'il existe -1<\lambda<1, un entier n>1, des points 0=c_0<c_1<...<c_{n-1}<c_n=1 et des nombres réels b_1,...,b_n tels que f(x)=\lambda x+b_i pour tout x\in [c_{i-1},c_i[, 1\le i \le n. Nous nous intéressons à la famille à un paramètre d'applications de l'intervalle f_\delta : x\in I \mapsto f(x)+\delta mod 1. Nous démontrons que pour (Lebesgue) presque tout \delta \in \R, l'application de l'intervalle f_\delta possède au plus n+1 orbites périodiques et, pour chaque x\in I, la limite supérieure de son orbite est une orbite périodique.

Motivé par un travail en collaboration avec Benito Pires et Rafael Rosales